群のはなし
群(group)とは、数学における数や行列などのある特徴を持ったグループ(集合)のことです。数学では「群論」という分野で群を扱います。物理学でも量子論などで群が登場します。
さて、群の具体例をみてみましょう。
などです。一度は出会ったことがあるでしょう。
では、どのような集合が群になるのでしょうか?
群の定義
群は次の4つの条件を満たすような集合\(G\)のことです。
- 集合の元に対して積\(\cdot\)が定義され、任意の元の積が集合の元となる(積の定義)
\({}^\forall g_1,g_2\in G s.t. g_1\cdot g_2 \equiv g \in G\) - 単位元\(e \in G\)が存在する
\(e\cdot g =g\cdot e =g\) - 逆元が存在する
\(g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g =e\) - 結合則が成り立つ
\(g_1\cdot (g_2\cdot g_3)=(g_1\cdot g_2)\cdot g_3\)
では、これらの定義を有理数の集合\(\mathbb{Q}\)で考えてみましょう。
- 二項演算子の定義
任意の有理数\(a,b\)には和が定義されています。いわゆる\(+\)です。
また、\(a,b\)の和\(a+ b\)は明らかに0以外の有理数になっています。 - 単位元
単位元とは、和をとっても値が変わらないものを言います。有理数の集合における単位元は、0です。 - 逆元
逆元とは、和を取ると単位元になるものです。なので元\(a\)の逆元は\(-a\)になります。 - 結合則
0でない有理数\(a,b,c\)に対して\(a+b+ c\)を考えると、\(a+ b\)を先に計算する場合と\(b+ c\)を先に計算する場合で結果が一致するのは当然でしょう。これが結合則です。
積の順序を入れ替えることができるかは別の話なので混同しないように注意しましょう。
群の性質
では次に群の性質を見てみましょう。群が一般的に満たす性質は次の2つです。
- 単位元の一意性
- 逆元の一意性
要するに、一つの群に対して単位元・逆元はそれぞれ1つしかないということです。当然のように思えることですが、一応証明をしておきましょう。
\(\mathrm{Prf.}\)単位元の一意性
\(\hspace 15pt\)単位元\(e\,,e^\prime (e\neq e^\prime)\)が存在すると仮定する
\(\hspace 15pt\)\(ae^\prime =e^\prime a =a\) より、\(a=e\)とすると \(ee^\prime =e^\prime e =e\)
\(\hspace 15pt\)また、\(ae =ea =a\) より、\(a=e^\prime\)とすると \(e^\prime e=ee^\prime =e^\prime\)
\(\hspace 15pt\)したがって\(e=e^\prime\)となって仮定に矛盾
\(\hspace 15pt\)すなわち単位元は唯一 \(\mathrm{Q.E.}\mathrm{D.}\)
\(\mathrm{Prf.}\)逆元の一意性
\(\hspace 15pt\)元\(a\)の逆元\(b\)は\(ba=e\)で定義される。
\(\hspace 15pt\)よって\(baa^{-1}=ea^{-1}\,, b=a^{-1}\)
\(\hspace 15pt\)\(a\)の\(b\)ではない逆元\(c\)が存在したとすると、同様の議論で\(c=a^{-1}\)
\(\hspace 15pt\)よって\(b=c\)となって逆元は唯一 \(\mathrm{Q.E.}\mathrm{D.}\)
まとめ
群とは、集合のうち、ある性質を満たすようなもののことでした。
群には様々な種類がありますが、物理学で多用するのは「連続群(リー群)」と呼ばれるものです。物理学でのリー群に関する導入的な参考書は少ないので、基本的な群の性質から勉強していきましょう。(終)