井戸型ポテンシャルの共鳴
有限の深さの井戸型ポテンシャルに散乱状態の波動を入射すると「共鳴」が起こることが知られている．今回は確率密度流の反射・透過を計算した上で，共鳴状態について考えてみる．
セットアップ
簡単のために1次元領域で議論をする．ポテンシャル$V(x)$が
$$ V(x)=\begin{cases} 0&x\leq -a/2\,,a/2\leq x\\ -V_0<0&-a/2<x<a/2 \end{cases} $$
で与えられている領域にエネルギー$E>0$をもった粒子状態が$x\to-\infty$から入射される状況を考えよう．散乱状態の波動関数はSchrödinger方程式を解いて一般に
$$ \psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{ikx}\,, k=\sqrt{\frac{2m(E-V(x))}{\hbar^2}} $$
で与えられるが，$e^{ikx}$負から正の向きに確率密度流$j=\frac{\hbar^2 k}{m}$で進む波，$e^{-ikx}$は正から負の向きに確率密度流$j=\frac{\hbar^2k}{m}$で進む波なので、
$$ \psi(x)=\begin{cases} e^{ikx}+Re^{-ikx} &x<-a/2\\ \alpha e^{ik'x}+\beta e^{-ik'x}& -a/2<x<a/2\\ Te^{ikx}& a/2<x \end{cases} $$
と書くことができる．ただし各領域での波数は定義から
$$ k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\,,k'=\sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}} $$
である．
係数を求める
ここからは波動関数の中に含まれている係数$R,T,\alpha,\beta$を求めていく．最終的な目標は透過率に対応する$T$を求めることだ．
境界条件として波動関数と1階導関数の連続性を要請すると，4条件が得られる．求める係数も4つであるから，この4条件を用いて議論していけばよさそうだ．
波動関数の連続性は
$$ \begin{align} e^{-ika/2}+Re^{ika/2}&=\alpha e^{-ik'a/2}+\beta e^{ik'a/2}\\ \alpha e^{ik'a/2}+\beta e^{-ik'a/2}&=Te^{ika/2} \end{align} $$
であり，1階導関数の連続性は
$$ \begin{align} ik(e^{-ika/2}-Re^{ika/2})&=ik'(\alpha e^{-ik'a/2}-\beta e^{ik'a/2})\\ ik'(\alpha e^{ik'a/2}-\beta e^{-ik'a/2})&=ikTe^{ika/2} \end{align} $$
となる．まず$x=a/2$での条件から
$$ \left(\begin{matrix} e^{ik'a/2}&e^{-ik'a/2}\\ ik'e^{ik'a/2}&-ik'e^{-ik'a/2} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \alpha\\\beta \end{matrix}\right)= T\left(\begin{matrix} e^{ika/2}\\ ike^{ika/2} \end{matrix}\right) $$
であり，これを解くと
$$ \begin{align} \left(\begin{matrix} \alpha\\\beta \end{matrix}\right)&= \frac{Te^{ika/2}}{-2ik'} \left(\begin{matrix} -ik'e^{-ik'a/2}&-e^{-ik'a/2}\\ -ik'e^{ik'a/2}&e^{ik'a/2} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\ ik \end{matrix}\right)\\ &=\frac{Te^{ika/2}}{2ik'}\left(\begin{matrix} i(k+k')e^{-ik'a/2}\\ i(-k+k')e^{ik'a/2} \end{matrix}\right) \end{align} $$
となる．これを用いると
$$ \begin{align} &\begin{cases} Re^{ika/2}&=\frac{Te^{ika/2}}{2k'}\left((k+k')e^{-ik'a}+(-k+k')e^{ik'a}\right)-e^{-ika/2}\\ Re^{ika/2}&=-\frac{k'}{k}\frac{Te^{ika/2}}{2k'}\left((k+k')e^{-ik'a}-(-k+k')e^{ik'a}\right)+e^{-ika/2} \end{cases}\\ &Te^{ika/2}\left[\left(\frac{1}{k'}+\frac{1}{k}\right)(k+k')e^{-ik'a}+\left(\frac{1}{k'}-\frac{1}{k}\right)(-k+k')e^{ik'a}\right]=4e^{-ika/2}\\ &T=\frac{4kk'e^{-ika}}{(k+k')^2e^{-ik'a}-(k-k')^2e^{ik'a}}=\frac{e^{-ika}}{\cos(k'a)-i\frac{k^2+k'^2}{2kk'}\sin(ka)} \end{align} $$
となる．$|T|^2$が透過率であり，計算すると
$$ |T|^2=\left[\cos^2(k'a)+\left(\frac{k^2+k'^2}{2kk'}\right)^2\sin^2(k'a)\right]^{-1} $$
となる．$k=k'$となるような状態，すなわち$E\to\infty$では$|T|=1$となって波が完全に透過することがわかる．さらに他にも完全透過が起こる条件がある．
$$ \begin{align} 1&=\cos^2(k'a)+\left(\frac{k^2+k'^2}{2kk'}\right)^2\sin^2(k'a)\\ \therefore &(k^2-k'^2)^2\sin^2(k'a)=0\,, k'a=n\pi\ (n=1,2,3…) \end{align} $$
この状態は，井戸型ポテンシャルの幅$a$が半波長の整数倍となるような場合である．この時$x=\pm a/2$は定在波の節に当たるので，入射された波動があたかも束縛されているように見える．これが共鳴状態である（終）．
