光の波動性と粒子性の話
今回は「光の波動性と粒子性」についての話をします。1920年から1930年にかけて、光には波動性だけではなく粒子性も持っていることが実験・理論両面から確認されたのでした。参考記事はこちら。
Planckの量子仮説の前からあった「Rayleigh-Jeansの法則」「Wienの法則」を俯瞰し、光の波動性と粒子性がどのような場合にどちらが顕著に現れるのかを確認します。
1. Rayleigh-Jeansの輻射法則〜波動的視点〜
Rayleigh-Jeansの輻射法則は、光が波（電磁波）であるという視点から構成されています。具体的には、輻射場の自由度が電磁波の自由度に相当するため、ベクトルポテンシャル\(\vec{A}\)を考えるところから始まります（別の記事で詳しく書きます）。
計算を進めていくと、エネルギー密度（単位体積毎）は$$\rho(\omega ,T)=\frac{k_BT\omega^2}{\pi^2c^3}$$となります。なお、\(k_B\)はBoltzmann定数、\(T\)は温度、\(\omega \)は光の角振動数、\(c\)は光速です。
Rayleigh-Jeansの輻射法則におけるエネルギー密度を\(\rho_{R.J.}\)と書いておきましょう。すると、振動数が\(\omega \sim \omega +d\omega \)の間にあるような光子の個数は$$dN_{R.J.}=\frac{\rho_{R.J.}(\omega,T)}{\hbar \omega}d\omega=\frac{k_BT\omega}{\pi^2c^3\hbar}\omega d\omega $$となります。分母が\(\hbar \omega\)なのは、角振動数\(\omega \)の光子のエネルギーが\(\hbar \omega\)だからです。
Rayleigh-Jeansの輻射法則は光を波として扱ったので、最後に「光子の個数」が出てきたことに違和感を覚える方もいるでしょう。ですがWienの輻射法則と比較するためなので、我慢してください。
2. Planckの輻射法則とWienの輻射法則〜粒子的視点〜
ここからはPlanckの輻射法則を経由してWienの輻射法則を得たのち、Wienの輻射法則における光子の個数を求めます。
さてPlanckの輻射法則によれば、エネルギー密度は$$\rho_{Planck}(\omega,T)=\frac{\hbar \omega ^3}{\pi^3c^2}\frac{1}{\exp(\hbar \omega /k_B T)-1}$$と表されます。ここで\(\hbar \omega \gg k_BT\)という低温条件に対して成り立つのがWienの輻射法則で、$$\rho_{Wien}(\omega ,T)=\frac{\hbar \omega ^3}{\pi^2c^3}\exp(-\hbar \omega /k_BT)$$という表式になります。1と同様に振動数\(\omega \sim \omega +d\omega \)の範囲にある光子の個数を求めると$$dN_{Wien}=\frac{\rho_{Wien}(\omega,T)}{\hbar \omega}d\omega =\frac{\omega ^2}{\pi^2c^3}\exp(-\hbar \omega/k_BT)$$
となります。
3. Rayliegh-Jeans則とWien則の比較
では、すでに求めたRayliegh-Jeansの輻射法則とWienの輻射法則における振動数\(\omega \sim \omega +d\omega \)の光子数を比較してみましょう。
$$\frac{dN_{Wien}}{dN_{R.J.}}=\frac{\exp(-\hbar \omega /k_BT)\hbar \omega }{k_BT}$$
つまり温度が低いとRayliegh-Jeans則が、温度が高いとWien則が支配的になるということを意味しています。これをエネルギーと光の波動性・粒子性に置き換えると次のようになります。
- 低エネルギーでは波動性が強くみられる
- 高エネルギーでは粒子性が強くみられる
Rayliegh-Jeans則は不十分な理論ではありますが、このように光の粒子性・波動性のどちらが強く現れるかということを、エネルギーの視点から教えてくれます。
縦軸：\(\frac{dN_{Wien}}{dN_{R.J.}}\) 横軸：\(\hbar \omega /k_BT\)
（終）
