角運動量演算子と固有状態
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量子力学において3次元系の問題を扱う時、角運動量演算子は避けて通れない存在です。二体問題を扱う際にも出てくる存在ですね。
今回はその角運動量演算子の固有値・固有状態を求めていきます。
角運動量演算子の交換関係
$$\begin{align}{\bf {\hat{J}}}&=\left(\hat{J_x},\hat{J_y},\hat{J_z}\right)\\ [\hat{J_i},\hat{J_j}]&=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J_k}\\ \hat{J_i}^{\dagger} &=\hat{J_i} \end{align}$$
さてこここで\({\bf \hat{J}}^2=\hat{J_x}^2+\hat{J_y}^2+\hat{J_z}^2\)という演算子を考えてみましょう。カシミア演算子とも言います。角運動量演算子の各成分との交換関係は次のようになります。
$$\begin{align}[{\bf{\hat{J}}^2},\hat{J_l}]&=[\hat{J_i}^2,\hat{J_l}]\\ &=\hat{J_i}[\hat{J_i},\hat{J_l}]+[\hat{J_i},\hat{J_l}]\hat{J_i}\\ &=\hat{J_i}i\hbar\epsilon_{il}{}_{m}\hat{J_m}+i\hbar\epsilon_{il}{}_{m}\hat{J_m}\hat{J_i}\\ &=i\hbar (\epsilon_{il}{}_{m}\hat{J_i}\hat{J_m}+\epsilon_{mli}\hat{J_i}\hat{J_m})=0\end{align}$$
これは\(\hat{{\bf J}}^2\)と\(\hat{J_i}\)が同時対角化可能であること、つまりこれらの同時固有状態が存在することを意味しています。
昇降演算子
角運動量演算子の固有値を求める前に、昇降演算子を定義します。
$$\hat{J}_{\pm}\equiv \hat{J_x}\pm i\hat{J_y}$$
昇降演算子を定義したことによって、基底\(\hat{J_x},\hat{J_y},\hat{J_z}\)が新たな基底\(J_z,J_{\pm}\)に移ったと考えてもいいでしょう。
$$\begin{align}[\hat{\bf{J}}^2,\hat{J_{\pm}}] &=[\hat{\bf{J}}^2,\hat{J_x}]\pm i[\hat{\bf{J}}^2,\hat{J_y}]=0\\ [\hat{J_z},\hat{J_\pm}] & =[\hat{J_z},\hat{J_x}]\pm i[\hat{J_z},\hat{J_y}]=\pm\hbar \hat{J_\pm}\\ \hat{J_+}\hat{J_-}&=\hat{\bf{J}}^2-\hat{J_z}^2+\hbar\hat{J_z}\\ \hat{J_-}\hat{J_+} & =\hat{\bf{J}}^2-\hat{J_z}^2-\hbar\hat{J_z} \end{align}$$
固有状態を求める
準備が整ったので角運動量演算子の固有値を求めていきましょう。\(\hat{{\bf J}}^2\)と\(\hat{J_i}\)が同時対角化可能だったので\(\hat{\bf{J}}^2\)に対応する固有値を\(a\)、\(\hat{J_z}\)に対応する固有値を\(b\)として議論していきます。
この設定を固有値方程式で書いてみます。
$$\hat{\bf{J}}^2|a,b\rangle =a|a,b\rangle$$
$$\hat{J_z}|a,b\rangle =b|a,b\rangle$$
固有状態は固有値をラベルに用いて\(|a,b\rangle\)と書きました。ただし規格化されているものとします。
さて固有値\(a,b\)を求めるのですが、これらには制約がかかっていることをみておきましょう。というのも、古典論における角運動量を考えると
$$\hat{\bf{J}}^2\geq \hat{J_z}^2$$
なので、対応する固有値にも\(a\geq b^2\)の関係があると思われます。実際に計算するとそれがわかります。
$$\begin{align}a-b^2 & \langle a,b|\hat{\bf{J}}^2-\hat{J_z}^2|a,b\rangle\\ &=\langle a,b|\hat{J_x}^2|a,b\rangle+\langle a,b|\hat{J_y}^2|a,b\rangle\geq 0\\ & \therefore a\geq b^2\end{align}$$
ここで先ほど定義した昇降演算子がどのような働きをするのかみてみます。そのまま固有状態に作用させるのではなくて\(\hat{{\bf J}}^2,\hat{J_z}\)と一緒に作用させてみます。
まずは\(\hat{\bf{J}}^2\)。
$$\hat{\bf{J}}^2\hat{J_\pm}|a,b\rangle=\hat{J_\pm}\hat{\bf{J}}^2|a,b\rangle =a\hat{J_\pm}|a,b\rangle$$
\(\hat{J_\pm}|a,b\rangle\)は\(\hat{\bf J}^2\)の固有状態で、固有値は\(a\)であることがわかりました。
次に\(\hat{J_z}\)。
$$\begin{align}\hat{J_z}\hat{J_\pm}|a,b\rangle & =(\hat{J_\pm}\hat{J_z}\pm\hbar\hat{J_\pm})|a,b\rangle\\ &=(b\pm\hbar)|a,b\rangle\end{align}$$
\(\hat{J_\pm}|a,b\rangle\)は\(\hat{J_z}\)の固有状態で、固有値は\(b\pm\hbar\)でした。
このことから、\(\hat{J_\pm}|a,b\rangle\)は
$$\hat{J_\pm}|a,b\rangle=C_{ab}|a,b\pm\hbar\rangle$$
とかけることがわかりました。\(\hat{\bf{J}}^2\)や\(\hat{J_z}\)を作用させると上でみた式を満たすことを確認してください。
つまり\(\hat{J_\pm}\)を状態\(|a,b\rangle\)に作用させることで、\(\hat{J_z}\)の固有値を\(\hbar\)ずつ上げ下げできることが言えます。これが\(\hat{J_\pm}\)に昇降演算子という名前がついている理由です。
さて昇降演算子によって\(\hat{J_z}\)の固有値の上げ下げができたのですが、既にみた固有値の制約\(a\geq b^2\)から\(b\)には上限と下限が存在することがわかります。このことについて考えてみましょう。
\(\hat{J_+}\)を作用させ続けると、「これ以上\(b\)を増やせない！」という状態に行き着きます。これはどのような場合かというと、
$$\hat{J_+}|a,b_\mathrm{max}\rangle=0$$
という場合です。\(\hat{J_+}\)を作用させて0になってしまうので、これ以上\(b\)は増やせないですね。このとき\(\hat{\bf{J}}^2\)を作用させると、
$$\begin{align}\hat{\bf{J}}^2|a,b_\mathrm{max}\rangle & =\hat{J_z}(\hat{J_z}+\hbar)|a,b_\mathrm{max}\rangle\\ & =b_\mathrm{max}(b_\mathrm{max}+\hbar)|a,b_\mathrm{max}\rangle\end{align}$$
となり、\(a\)と\(b_\mathrm{max}\)との関係は
$$a=b_\mathrm{max}^2+\hbar b_\mathrm{max}$$
となります。\(a\geq b^2\geq 0\)だったので\(b_\mathrm{max}\geq 0\)ですね。
同様にして「これ以上\(b\)を減らせない！」という状態を考えると
$$\hat{J_-}|a,b_\mathrm{min}\rangle=0$$
$$\begin{align}\hat{\bf{J}}^2|a,b_\mathrm{min}\rangle & =\hat{J_z}(\hat{J_z}-\hbar)|a,b_\mathrm{min}\\ &=b_\mathrm{min}(b_\mathrm{min}-\hbar)|a,b_\mathrm{min}\rangle\\ a &=b_\mathrm{min}^2-\hbar b_\mathrm{min}\,,b_\mathrm{min}\leq 0 \end{align}$$
です。さて、得られた二式の差をとってみましょう。
$$\begin{align}a-a & =(b_\mathrm{max}^2+b_\mathrm{max})-(b_\mathrm{min}^2-\hbar b_\mathrm{min})\\ & =(b_\mathrm{max}+b_\mathrm{min})(b_\mathrm{max}-b_\mathrm{min}+\hbar)=0\end{align}$$
$$\therefore b_\mathrm{max}+b_\mathrm{min}=0\ (\because b_\mathrm{max}-b_\mathrm{min}+\hbar> 0)$$
となりました。
このことから\(b_\mathrm{max}=j\hbar\,,b_\mathrm{min}=-j\hbar\,,j\geq 0\)とかけるので、固有値は
$$a=j(j+1)\hbar^2$$
$$b=-j\hbar\,,-j\hbar+\hbar\,,...,j\hbar-\hbar\,,j\hbar$$
となります。\(b\)の個数が\(2j+1\)個なので、\(2j=0,1,2,...\)です。
\(b\)の見栄えが少し悪いので\(b=m\hbar\)と書き直しましょう。すると
$$\begin{align}\hat{\bf{J}}^2|j,m\rangle & =j(j+1)\hbar^2|j,m\rangle\\ \hat{J_z}|j,m\rangle & =m\hbar|j,m\rangle\\ j & =0,1/2,2,...\\ m& =-j,-j+1,...,j-1,j(2j+1個)\end{align}$$
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